设函数y=f(x)定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对于任意的x,y∈R,有f(x+y)=f(x)•f(y)成立.数列{an}满足a1=f(0),且 f(
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设函数y=f(x)定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对于任意的x,y∈R,有f(x+y)=f(x)•f(y)成立.数列{an}满足a1=f(0),且 f(
题型:不详
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来源:
设函数y=f(x)定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对于任意的x,y∈R,有f(x+y)=f(x)•f(y)成立.数列{a
n
}满足a
1
=f(0),且
f(
a
n+1
)=
1
f(-2-
a
n
)
(n∈
N
*
)
.
(Ⅰ) 求f(0)的值;
(Ⅱ) 求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅲ) 是否存在正数k,使
(1+
1
a
1
)(1+
1
a
2
)…(1+
1
a
n
)≥k
2n+1
对一切n∈N
*
均成立,若存在,求出k的最大值,并证明,否则说明理由.
答案
(Ⅰ)∵函数y=f(x)定义域为R,当x<0时,f(x)>1,
且对于任意的x,y∈R,有f(x+y)=f(x)•f(y)成立.
∴令x=-1,y=0,
得f(-1)=f(-1)•f(0),
得f(0)=1.(3分)
(Ⅱ)由
f(
a
n+1
)=
1
f(-2-
a
n
)
,得f(a
n+1
)•f(-2-a
n
)=1,
∴f(a
n+1
-a
n
-2)=f(0),
∴a
n+1
-a
n
-2=0,即a
n+1
-a
n
=2(n∈N
*
).
∴{a
n
}是等差数列,其首项为1,公差为d=2,
∴a
n
=2n-1(8分)
(Ⅲ)存在正数k,使
(1+
1
a
1
)(1+
1
a
2
)…(1+
1
a
n
)≥k
2n+1
成立.
记
F(n)=
(1+
1
a
1
)(1+
1
a
2
)…(1+
1
a
n
)
2n+1
,
则
F(n+1)
F(n)
=
2(n+1)
4
(n+1)
2
-1
>1
,
∴F(n)单调递增,
∴F(1)为F(n)的最小值,
由F(n)≥k恒成立知
k≤
2
3
3
,
∴k的最大值为
2
3
3
.(14分)
举一反三
已知等差数列{a
n
}满足a
2
=2,a
5
=8.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设各项均为正数的等比数列{b
n
}的前n项和为T
n
,若b
3
=a
3
,T
3
=7,求T
n
.
题型:不详
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|
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数列{a
n
}是公差为正数的等差数列,a
1
=f(x-1),a
2
=0,a
3
=f(x+1),其中f(x)=x
2
-4x+2,则数列{a
n
}的通项公式a
n
=______.
题型:不详
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|
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在等差数列{a
n
}中,a
1
=2,a
17
=66,
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)88是否是数列{a
n
}中的项.
题型:不详
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|
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在等差数列{a
n
}中,a
1
=3,其前n项和为S
n
,等比数列{b
n
}的各项均为正数,b
1
=1,公比为q,且b
2
+S
2
=12,q=
S
2
b
2
,求a
n
与b
n
.
题型:不详
难度:
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等差数列{a
n
}中,前三项分别为x,2x,5x-4,前n项和为S
n
,且S
k
=72.
(1)求x和k的值;
(2)求T
n
=
1
S
1
+
1
S
2
+
1
S
3
+…+
1
S
n
.
题型:不详
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|
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