已知数列{an} 的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+ ……+an,B(n)=a2+a3+ ……+an+1,C(n)=a3+a4+ ……+an+2,n=1
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已知数列{an} 的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+ ……+an,B(n)=a2+a3+ ……+an+1,C(n)=a3+a4+ ……+an+2,n=1
题型:高考真题
难度:
来源:
已知数列{a
n
} 的各项均为正数,记A(n)=a
1
+a
2
+ ……+a
n
,B(n)=a
2
+a
3
+ ……+a
n+1
,C(n)=a
3
+a
4
+ ……+a
n+2
,n=1 ,2 ,…… 。
(1)若a
1
=1 ,a
2
=5 ,且对任意n∈N﹡,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{a
n
} 的通项公式,
(2)证明:数列{a
n
} 是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意
,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列。
答案
解:(1)对任意
,三个数
是等差数列,
所以
即
亦即
故数列
是首项为1,公差为4的等差数列
于是
。
(2)①必要性:若数列
是公比为的等比数列,则对任意
,
有
由
知,
均大于0,
于是
即
=
=
,
所以三个数
组成公比为
的等比数列。
②充分性:若对于任意
,三个数
组成公比为
的等比数列,
则
,于是
得
即
由
有
即
,
从而
因为
,所以
,
故数列
是首项为
,公比为
的等比数列,
综上所述,数列
是公比为
的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数
组成公比为
的等比数列。
举一反三
已知{a
n
}为等差数列,且a
3
=﹣6,a
6
=0.(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)若等比数列{b
n
}满足b
1
=﹣8,b
2
=a
1
+a
2
+
a3
,求数列{b
n
}的前n项和公式.
题型:期末题
难度:
|
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数列{a
n
}中,a
1
=100,a
n+1
=a
n
+2,则a
100
=( )
题型:福建省月考题
难度:
|
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设函数f(x)=
(a,b为常数,a≠0),若f(1)=
,且f(x)=x只有一个实数根.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若数列{a
n
}满足关系式:a
n
=f(a
n﹣1
)(n∈N且n≥2),又
,证明数列
{
}是等差数列并求{a
n
}的通项公式.
题型:福建省月考题
难度:
|
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已知函数f(x)=
,数列{a
n
}满足:a
n
>0,a
1
=1,a
n+1
=f(a
n
),n∈N
+
(I )求数列{a
n
}的通项公式;
(II)若b
n
=
+1,对任意正整数n,不等式
﹣
≤0恒成立,求正数k的取值范围.
题型:四川省期中题
难度:
|
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已知数列{
}的前n项和
=﹣2n
2
+3n,则数列{
}的通项公式为( ).
题型:江苏省期末题
难度:
|
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