已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn=a2n+n-4。（1）求证{an}为等差数列；（2）求{an}的通项公式。

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已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，且满足2S_n=a²_n+n-4。
（1）求证{a_n}为等差数列；
（2）求{a_n}的通项公式。

答案

解：（1）当n=1时，有2a₁=a+1-4，即a²₁-2a₁-3=0，
解得a₁=3（a₁=-1舍去）
当n≥2时，有2S_n-1=a²_n-1+n-5，
又2S_n=a²_n+n-4，
两式相减得2a_n=a²_n-a²_n-1+1，
即a²_n-2a_n+1=a²_n-1，
也即（a_n-1）²=a²_n-1，
因此a_n-1=a_n-1或a_n-1=-a_n-1
若a_n-1=-a_n-1，则a_n+a_n-1=1，而a₁=3，
所以a₂=-2，这与数列{a_n}的各项均为正数相矛盾，
所以a_n-1=a_n-1，即a_n-a_n-1=1，
因此{a_n}为等差数列
（2）由（1）知a₁=3，d=1，
所以数列{a_n}的通项公式a_n=3+（n-1）=n+2，
即a_n=n+2。