试题分析:(1)推出bn的表达式,分别当n=1时,求出a2=﹣;当n=2时,解出a3=8; (2)设cn=a2n+1﹣a2n﹣1,n∈N*,利用等比数列的定义,证明{cn}是等比数列; (3)求出S2n,a2n,S2n﹣1,a2n﹣1,求出+的表达式,然后求出++…++的表达式,利用放缩法证明结果. (1)解:由bn=,(n∈N*)可得bn= 又bn+1an+bnan+1=(﹣2)n+1, 当n=1时,a1+2a2=﹣1,可得由a1=2,a2=﹣; 当n=2时,2a2+a3=5可得a3=8; (2)证明:对任意n∈N*,a2n﹣1+2a2n=﹣22n﹣1+1…① 2a2n+a2n+1=22n+1…② ②﹣①,得a2n+1﹣a2n﹣1=3×22n﹣1,即:cn=3×22n﹣1,于是 所以{cn}是等比数列. (3)证明: a1=2,由(2)知,当k∈N*且k≥2时, a2k﹣1=a1+(a3﹣a1)+(a5﹣a3)+(a7﹣a5)+…+(a2k﹣1﹣a2k﹣3) =2+3(2+23+25+…+22k﹣3)=2+3×=22k﹣1, 故对任意的k∈N*,a2k﹣1=22k﹣1. 由①得22k﹣1+2a2k=﹣22k﹣1+1,所以k∈N*, 因此, 于是,. 故= = 所以,对任意的n∈N*,++…++=(+)+…+(+) = = =n﹣ ≤n﹣﹣=n﹣(n∈N*) 点评:本题考查等比数列的定义,等比数列求和等基础知识,考查计算能力、推理论证能力、综合发现问题解决问题的能力以及分类讨论思想. |