已知数列{an}的首项a1=2a+1(a是常数,且a≠-1),an=2an-1+n2-4n+2(n≥2),数列{bn}的首项b1=a,bn=an+n2(n≥2)
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已知数列{an}的首项a1=2a+1(a是常数,且a≠-1), an=2an-1+n2-4n+2(n≥2),数列{bn}的首项b1=a, bn=an+n2(n≥2). (1)证明:{bn}从第2项起是以2为公比的等比数列; (2)设Sn为数列{bn}的前n项和,且{Sn}是等比数列,求实数a的值; (3)当a>0时,求数列{an}的最小项. |
答案
(1)见解析(2)a=-(3)当a∈时,最小项为8a-1;当a=时,最小项为4a或8a-1;当a∈时,最小项为4a;当a=时,最小项为4a或2a+1; 当a∈时,最小项为2a+1. |
解析
(1)证明:∵bn=an+n2,∴bn+1=an+1+(n+1)2=2an+(n+1)2-4(n+1)+2+(n+1)2=2an+2n2=2bn(n≥2). 由a1=2a+1,得a2=4a,b2=a2+4=4a+4,∵a≠-1, ∴b2≠0,即{bn}从第2项起是以2为公比的等比数列. (2)解:由(1)知bn= Sn=a+=-3a-4+(2a+2)2n,当n≥2时, =. ∵{Sn}是等比数列,∴ (n≥2)是常数,∴3a+4=0,即a=-. (3)解:由(1)知当n≥2时,bn=(4a+4)2n-2=(a+1)2n, ∴an= ∴数列{an}为2a+1,4a,8a-1,16a,32a+7,… 显然最小项是前三项中的一项. 当a∈时,最小项为8a-1;当a=时,最小项为4a或8a-1; 当a∈时,最小项为4a;当a=时,最小项为4a或2a+1; 当a∈时,最小项为2a+1. |
举一反三
在各项均为正数的等比数列{an}中,已知a2=2a1+3,且3a2,a4,5a3成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=log3an,求数列{anbn}的前n项和Sn. |
设C1、C2、…、Cn、…是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在轴的正半轴上,且都与直线y=x相切,对每一个正整数n,圆Cn都与圆Cn+1相互外切,以rn表示Cn的半径,已知{rn}为递增数列.
(1)证明:{rn}为等比数列; (2)设r1=1,求数列的前n项和. |
某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第1名得全部资金的一半多一万元,第2名得剩下的一半多一万元,以名次类推都得到剩下的一半多一万元,到第10名恰好资金分完,则此科研单位共拿出________万元资金进行奖励. |
甲、乙两大超市同时开业,第一年的全年销售额均为a万元,由于经营方式不同,甲超市前n年的总销售额为(n2-n+2)万元,乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元. (1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an、bn,求an、bn的表达式; (2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年? |
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