试题分析:(Ⅰ) 由,令可求,时,利用可得与之间的递推关系,构造等可证等比数列;(Ⅱ) 由(Ⅰ)可求,利用错位相减法可求数列的和;(Ⅲ)由(Ⅱ)进而可求,利用()进行不等式放缩,求数列{}的和即可求证. 试题解析:(Ⅰ)因为, 所以 ① 当时,,则, (1分) ② 当时,, (2分) 所以,即, 所以,而, (3分) 所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以. (4分) (Ⅱ)由(1)得. 所以 ①, ②, (5分) ②-①得:, (7分) . (9分) (Ⅲ)由(Ⅰ)知 (10分) (1)当时,成立; (11分) (2)当时,,, (13分) 所以. (14分) (本题放缩方法不唯一,请酌情给分) |