设无穷等比数列的公比为q,且,表示不超过实数的最大整数(如),记,数列的前项和为,数列的前项和为.(Ⅰ)若,求;(Ⅱ)若对于任意不超过的正整数n,都有,证明:.

设无穷等比数列的公比为q,且,表示不超过实数的最大整数(如),记,数列的前项和为,数列的前项和为.(Ⅰ)若,求;(Ⅱ)若对于任意不超过的正整数n,都有,证明:.

题型:不详难度:来源:
设无穷等比数列的公比为q,且表示不超过实数的最大整数(如),记,数列的前项和为,数列的前项和为.
(Ⅰ)若,求
(Ⅱ)若对于任意不超过的正整数n,都有,证明:.
(Ⅲ)证明:)的充分必要条件为.
答案
(Ⅰ);(Ⅱ)答案详见解析;(Ⅲ)答案详见解析.
解析

试题分析:(Ⅰ)由已知得,,且当时,.且,故,且当时,,进而求;(Ⅱ)已知数列的前项和),可求得,由取整函数得,故,要证明,只需证明,故可联想到,则;(Ⅲ)先证明充分性,当时,,由取整函数的性质得,故;必要性的证明,当时,,则有.
试题解析:(Ⅰ)解:由等比数列,得,且当时,.
所以,且当时,.

(Ⅱ)证明:因为 ,所以 .
因为
所以 .
,得 .
因为
所以
所以 ,即 .
(Ⅲ)证明:(充分性)因为
所以
所以对一切正整数n都成立.
因为
所以.
(必要性)因为对于任意的
时,由,得
时,由,得.
所以对一切正整数n都有.
,得对一切正整数n都有
所以公比为正有理数.
假设 ,令,其中,且的最大公约数为1.
因为是一个有限整数,
所以必然存在一个整数,使得能被整除,而不能被整除.
又因为,且的最大公约数为1.
所以,这与)矛盾.
所以.
因此.
举一反三
数列{}的前n项和为
(Ⅰ)设,证明:数列是等比数列;
(Ⅱ)求数列的前项和
(Ⅲ)若,数列的前项和,证明:
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数列{}的前n项和为
(Ⅰ)设,证明:数列是等比数列;
(Ⅱ)求数列的前项和
(Ⅲ)若.求不超过的最大整数的值.
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