(Ⅰ)由已知有3an-an+1=0,∴=3, 所以数列{an]为以3为公比,以a1=3为首项的等比数列, ∴an=a13n-1=3n. (Ⅱ)f(x)=a1x+a2x2+…+anxn则 f′(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+nanxn-1 ∴f′(1)=a1+2a2+3a3+…+nan=3+2•32+3•33+…+n•3n ① ∴3f′(1)=32+2•33+3•34+…+(n-1)•3n+n•3n+1 ② ①-②得-2f′(1)=3+32+33+34+…+3n-n•3n+1=-n•3n+1 ∴f′(1 )=-+•3n+1=+ (Ⅲ)证明:由已知cn=3n-2,则 1+=1+,所以 (1+)( 1+)••(1+)=(1+1)(1+)…(1+) 下面用数学归纳法证明不等式(1+)(1+)•…•(1+)> 成立. ①当n=1时,左边=2,右边=,不等式成立. ②假设当n=k时不等式成立,即(1+)( 1+)••(1+)=(1+1)(1+)…(1+)>成立. 则当n=k+1时,左边(1+)( 1+)••(1+)[1+] =(1+1)(1+)…(1+)[1+] >•[1+]=•= 只要证>>成立即可 只需证 >3k+4成立, 只需证(3k+2)3>(3k+4)(3k+1)2成立, 只需证27k3+54k2+36k+8>27k3+54k2+27k+4成立, 只需证9k+4>0成立,由于k为正整数,显然成立. 所以当n=k+1时,不等式也成立. 由①,②可得不等式(1+)(1+)•…•(1+)>恒成立 |