已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an+(n-2)(n-1)(n∈N*)(1)是否存在常数p,q,r,使数列{an+pn2+qn+r}是等比数列,若存在
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已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an+(n-2)(n-1)(n∈N*)(1)是否存在常数p,q,r,使数列{an+pn2+qn+r}是等比数列,若存在
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}满足a
1
=2,a
n+1
=2a
n
+(n-2)(n-1)(n∈N
*
)
(1)是否存在常数p,q,r,使数列{a
n
+pn
2
+qn+r}是等比数列,若存在求出p,q,r的值;若不存在,说明理由;
(2)设数列{b
n
}满足
b
n
=
1
2
n+1
-
a
n
,证明:
b
1
+
b
2
+…+
b
n
<
3
2
.
答案
(1)设a
n+1
+p(n+1)
2
+q(n+1)+r=2(a
n
+pn
2
+qn+r)
∴a
n+1
=2a
n
+pn
2
+(q-2p)n+r-p-q
由a
n+1
=2a
n
+n
2
-3n+2∴p=1,q=-1,r=2.4分
∴{a
n
+n
2
-n+2}是以首项为4,公比为2的等比数列.6分
(2)∵a
n
+n
2
-n+2=4•2
n-1
=2
n+1
7′
∴
b
n
=
1
2
n+1
-
a
n
=
1
n
2
-n+2
<
1
n
2
-n
=
1
(n-1)n
=
1
n-1
-
1
n
(n≥2)
9分
∴n=1时,
b
1
=
1
2
<
3
2
10′
n≥2时,
b
1
+
b
2
+
b
3
++
b
n
=
b
1
+(
1
1
-
1
2
+
1
2
-
1
3
++
1
n-1
-
1
n
)
=
1
2
+1-
1
n
<
3
2
综上:b
1
+b
2
+b
3
++b
n
<
3
2
(n∈
N
*
)
12分
举一反三
在等比数列{a
n
}中,a
n
>0,且a
1
+a
2
=1,S
4
=10,则a
4
+a
5
=( )
A.16
B.27
C.36
D.81
题型:武昌区模拟
难度:
|
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已知{a
n
}是等比数列,且公比q≠-1,S
n
是{a
n
}的前n项和,已知4S
3
=a
4
-2,4S
2
=5a
2
-2,则公比q=( )
A.5
B.4
C.3
D.2
题型:绵阳一模
难度:
|
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已知数列{a
n
}的首项为a
1
=3,点(a
n
,a
n+1
)在直线3x-y=0(n∈N
*
)上.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)若f(x)=a
1
x+a
2
x
2
+…+a
n
x
n
,求f"(1)的值,并化简.
(Ⅲ)若c
n
=log
3
a
n
3
-2(n∈N
*
),证明对任意的n∈N
*
,不等式
(1+
1
c
1
)(1+
1
c
2
)•…•(1+
1
c
n
)>
3
3n+1
恒成立.
题型:广东模拟
难度:
|
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己知数列{a
n
}满足:a
1
=1,a
n+1
=
1
2
a
n
+n,n为奇数
a
n
-2n,n为偶数
(1)求a
2
,a
3
;
(2)设b
n
=a
2n
-2,n∈N
*
,求证{b
n
} 是等比数列,并求其通项公式;
(3)在(2)条件下,求数列{a
n
} 前100项中的所有偶数项的和S.
题型:不详
难度:
|
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在数列{a
n
}中,a
1
=4且对于任意的自然数n∈N
+
都有a
n+1
=2(a
n
-n+1)
(I)证明数列{a
n
-2n}是等比数列.
(II)求数列{a
n
}的通项公式及前n项和S
n
.
题型:不详
难度:
|
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