已知数列{an}的前n项和为Sn.且满足Sn=2an-1(n∈N+)(I)求证:数列{an}是等比数列;(II)数列{bn}满足bn+1.=an+bnn∈N+.
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已知数列{an}的前n项和为Sn.且满足Sn=2an-1(n∈N+)(I)求证:数列{an}是等比数列;(II)数列{bn}满足bn+1.=an+bnn∈N+.
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
.且满足S
n
=2a
n
-1(n∈N
+
)
(I)求证:数列{a
n
}是等比数列;
(II)数列{b
n
}满足b
n+1
.=a
n
+b
n
n∈N
+
.且b
1
=3.若不等式
log
2
(
b
n
-2)
<
3
16
n
2
+t
对任意n∈N
+
恒成立,求实数t的取值范围.
答案
( I)证明:依题意可得S
n+1
=2a
n+1
-1…①,S
n
=2a
n
-1…②
①-②,得a
n+1
=2a
n+1
-2a
n
化简得
a
n+1
a
n
=2(n∈
N
*
)
,
∵a
1
=2a
1
-1,
∴a
1
=1
∴数列{a
n
}是以1为首项,公比为2的等比数列.
(II)由(Ⅰ)可知a
n
=2
n-1
,因为b
n+1
=a
n
+b
n
,n∈N
+
.且b
1
=3,
所以b
n
=a
n-1
+b
n-1
=a
n-1
+a
n-2
+b
n-2
=…=a
n-1
+a
n-2
+…+a
1
+b
1
=2
n-2
+2
n-3
+…+1+3=2
n-1
+2,
因为不等式
log
2
(
b
n
-2)
<
3
16
n
2
+t
对任意n∈N
+
恒成立,
所以
log
2
(
2
n-1
+2-2)
<
3
16
n
2
+t
,
即t
>-
3
16
n
2
+n-1
,对任意n∈N
+
恒成立,
因为
-
3
16
n
2
+n-1≤
5
16
,且n=3时
-
3
16
n
2
+n-1
取得最大值
5
16
.
所以t
>
5
16
.
所以实数t的取值范围:
(
5
16
,+∞)
.
举一反三
已知S
n
为数列{a
n
}的前n项和,且S
n
=2a
n
+n
2
-3n-2,n=1,2,3….
(Ⅰ)求证:数列{a
n
-2n}为等比数列;
(Ⅱ)设b
n
=a
n
•cosnπ,求数列{b
n
}的前n项和P
n
;
(Ⅲ)设
c
n
=
1
a
n
-n
,数列{c
n
}的前n项和为T
n
,求证:
T
n
<
37
44
.
题型:肥城市模拟
难度:
|
查看答案
已知无穷等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
,各项的和为S,且
lim
n→∞
(
S
n
-2S)=1
,则其首项a
1
的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-2,-1)∪(-1,0)
C.(0,1)∪(1,2)
D.(-2,0)∪(0,2)
题型:上海模拟
难度:
|
查看答案
已知函数
f(x)(x∈R,x≠
1
a
)
满足ax•f(x)=2bx+f(x),a≠0,f(1)=1;且使f(x)=2x成立的实数x只有一个.
(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ)若数列{a
n
}满足
a
1
=
2
3
,a
n+1
=f(a
n
),
b
n
=
a
n
1-
a
n
,n∈N
*
,证明数列{b
n
}是等比数列,并求出{b
n
}的通项公式.
题型:不详
难度:
|
查看答案
等比数列{a
n
}是递减数列,其前n项积为T
n
,若T
10
=16T
6
,则a
6
•a
11
=( )
A.±2
B.±4
C.2
D.4
题型:不详
难度:
|
查看答案
一个有穷等比数列的首项为1,项数为偶数,如果其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.
题型:不详
难度:
|
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