已知函数f(x)(x∈R,x≠1a)满足ax•f(x)=2bx+f(x),a≠0,f(1)=1;且使f(x)=2x成立的实数x只有一个.(Ⅰ)求函数f(x)的表

已知函数f(x)(x∈R,x≠1a)满足ax•f(x)=2bx+f(x),a≠0,f(1)=1;且使f(x)=2x成立的实数x只有一个.(Ⅰ)求函数f(x)的表

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)(x∈R,x≠
1
a
)
满足ax•f(x)=2bx+f(x),a≠0,f(1)=1;且使f(x)=2x成立的实数x只有一个.
(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ)若数列{an}满足a1=
2
3
,an+1=f(an),bn=
an
1-an
,n∈N*,证明数列{bn}是等比数列,并求出{bn}的通项公式.
答案
(Ⅰ)由ax•f(x)=2bx+f(x),x≠
1
a
,a≠0,得f(x)=
2bx
ax-1
.…(2分)
由f(1)=1,得a=2b+1.…(3分)
由f(x)=2x只有一解,即
2bx
ax-1
=2x
,也就是2ax2-2(1+b)x=0(a≠0)只有一解,
∴4(1+b)2-4×2a×0=0
∴b=-1.…(5分)
∴a=-1.
f(x)=
2x
x+1
.…(6分)
(Ⅱ)解法一:∵a1=
2
3
,an+1=f(an),
a2=f(a1)=f(
2
3
)=
4
5
a3=f(a2)=f(
4
5
)=
8
9
a4=f(a3)=f(
8
9
)=
16
17
,…(7分)
猜想,an=
2n
2n+1
(n∈N*)
.…(8分)
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,左边=a1=
2
3
,右边=
21
21+1
=
2
3
,∴命题成立.…(10分)
②假设n=k时,命题成立,即ak=
2k
2k+1

当 n=k+1时,ak+1=f(ak)=
2ak
ak+1
=
2k
2k+1
2k
2k+1
+1
=
2k+1
2k+1+1

∴当 n=k+1时,命题成立.…(12分)
由①②可得,当n∈N*时,有an=
2n
2n+1
.…(13分)
bn=
an
1-an
=2n,(n∈N*)

bn+1
bn
=2,(n∈N*)
a1=2
∴{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,其通项公式为bn=2n.…(14分)
解法二:∵a1=
2
3
an+1=f(an)=
2an
an+1

1
an+1
=
1
2
(
1
an
+1)
…(8分)
1
an+1
-1=
1
2
(
1
an
-1)
,…(10分)
1
bn+1
=
1
2bn
bn+1=2bn(n∈N+)…(12分)
则数列{bn}是以b1=2为首项2为公比的等比数列,bn=2n,(n∈N*)…(14分)
举一反三
等比数列{an}是递减数列,其前n项积为Tn,若T10=16T6,则a6•a11=(  )
A.±2B.±4C.2D.4
题型:不详难度:| 查看答案
一个有穷等比数列的首项为1,项数为偶数,如果其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.
题型:不详难度:| 查看答案
设{an}是公比为q的等比数列,其前n项的积为Tn,并且满足条件:a1>1,a99a100-1>0,
a99-1
a100-1
<0
.给出下列结论:①0<q<1;②T198<1;③a99a101<1;④使Tn<1成立的最小的自然数n等于199.其中正确结论的编号是(  )
A.①②③B.①④C.②③④D.①③④
题型:不详难度:| 查看答案
设数列{an}的n项和为Sn,若对任意∈N*,都有.Sn=3an-5n
(1)求数列{an}的首项;
(2)求证:数列{an+5}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(3)数列{bn}满足bn=
9n+4
an+5
,问是否存m在,使得bn<m恒成立?如果存在,求出m的值,如果不存在,说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an}与{2an+3}均为等比数列,且a1=1,则a168=______.
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.