设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且q>0,q≠1,(Ⅰ)若a1=qm,m∈Z,且m≥-l,求证:数列{an}中任意不同的两项之积仍为数列{an}中的项
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设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且q>0,q≠1, (Ⅰ)若a1=qm,m∈Z,且m≥-l,求证:数列{an}中任意不同的两项之积仍为数列{an}中的项; (Ⅱ)若数列{an}中任意不同的两项之积仍为数列{an}中的项,求证:存在整数m,且m≥-1,使得a1=qm。 |
答案
证明:(Ⅰ)设ar,at为等比数列{an}中不同的两项, 由a1=qm,得ar·at=a1qr-1a1qt-1=a1q(r+t+m-1), 又r+t≥3,且m≥-1,所以r+m+t-l≥1, 所以ar、at是数列{an}的第r+m+t-l项。 (Ⅱ)等比数列{an}中任意不同两项之积仍为数列{an}中的项, 令as·at=al(l,t,s∈N*,t≠s), 由as=a1·qs-1,at=a1·qt-1,al=a1·ql-1,得a1·qs-1·a1·qt-1=a1·ql-1,a1=ql-s-t+1, 令整数m=l-s-t+1,则a1=qm, 下证整数m≥-1, 若设整数m<-1,则-m≥2,令k=-m, 由题设,取a1,ak,使a1·ak=ar(r∈N*), 即a1·a1·qk-1=a1·qr-1, 所以qm·q-m-1=qr-1,即q-1=qr-1, 因q>0,q≠1, 故-1=r-1,r=0与r∈N*矛盾! 所以m≥-1。 |
举一反三
已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6= |
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A.5 B.7 C.6 D.4 |
记等差数列{an}的前n项和为Sn,设S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列,求Sn。 |
设C1,C2,…,Cn,…是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在x轴的正半轴上,且都与直线y=x相切.对每一个正整数n,圆Cn都与圆Cn+1,相互外切.以rn表示Cn的半径,已知{rn}为递增数列, (Ⅰ)证明:{rn}为等比数列; (Ⅱ)设r1=1,求数列的前n项和. |
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设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a4=( )。 |
设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q= |
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A.3 B.4 C.5 D.6 |
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