已知数列中,,且,其前项和为,且当时,.⑴求证:数列是等比数列;⑵求数列的通项公式;⑶若,令,记数列的前项和为.设是整数,问是否存在正整数,使等式成立?若存在,
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已知数列中,,且,其前项和为,且当时,.⑴求证:数列是等比数列;⑵求数列的通项公式;⑶若,令,记数列的前项和为.设是整数,问是否存在正整数,使等式成立?若存在,
题型:不详
难度:
来源:
已知数列
中,
,
且
,其前
项和为
,且当
时,
.
⑴求证:数列
是等比数列;
⑵求数列
的通项公式;
⑶若
,令
,记数列
的前
项和为
.设
是整数,问是否存在正整数
,使等式
成立?若存在,求出
和相应的
值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)证明见解析
(2)
(3)
解析
⑴当
时,
,
化简得
,
又由
,可推知对一切正整数
均有
,
∴数列
是等比数列. ---------------- 4分
⑵由⑴知等比数列
的首项为1,公比为
, ∴
.
当
时,
,又
,
∴
----------8分
⑶当
时,
,此时
,
又
,
∴
,
当
时,
.
若
,则等式
为
,
不是整数,不符合题意.
若
,则等式
为
,
是整数,∴
是5的因数.
∴当且仅当
时,
是整数, ∴
综上所
述,当且仅当
时,存在正整数
,使等式
成立.
举一反三
一个数字生成器,生成规则如下:第1次生成一个数
,以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数
生成两个数,一个是
,另一个是
.设第
次生成的数的个数为
,则数列
的前
项和
_________________;若
,前
次生成的所有数中不同的数的个数为
,则
______________________.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分14分)
若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列
是调和数列,对于各项都是正数的数列
,满足
.
(Ⅰ)求证:数列
是等比数列;
(Ⅱ)把数列
中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表,
当
时,求第
行各数的和;
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列
,若数列
满足
,求证:数列
为等差数列.
题型:不详
难度:
|
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将石子摆成如图的梯形形状.称数列
为“梯形数”.根据图形的构成,数列的第10项
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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(本小题共13分)
已知数列
的前
项和为
,且满足
,
.
(Ⅰ)求证:{
}是等差数列;
(Ⅱ)求数列
的通项公式;
(Ⅲ)若
,求证:
.
题型:不详
难度:
|
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等差数列
中,
,此数列的通项公式为
,设
是数列
的前
项和,则
等于
。
题型:不详
难度:
|
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