数列{an}是公比大于1的等比数列,a2=6,S3=26.(1)求数列{an}的通项公式;(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成公差为dn的等

数列{an}是公比大于1的等比数列,a2=6,S3=26.(1)求数列{an}的通项公式;(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成公差为dn的等

题型:不详难度:来源:
数列{an}是公比大于1的等比数列,a2=6,S3=26.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成公差为dn的等差数列.设第n个等差数列的前n项和是An.求关于n的多项式g(n),使得An=g(n)dn对任意n∈N+恒成立;
(3)对于(2)中的数列d1,d2,d3,…,dn,…,这个数列中是否存在不同的三项dm,dk,dp(其中正整数m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.
答案
(1)设公比为q,由,a2=6,S3=26 可得
6
q
+6+6q=20
,解得q=3,或 q=
1
3
,再由q>1可得q=3,∴a1=2,an=2×3n-1
(2)由等差数列的通项公式可得 2×3n=2×3n-1+(n+1)•dn,∴dn=
n-1
n+1

∴An=n 2×3n-1+
n(n-1)
2
n-1
n+1
=
4• n2n-1
n+1

∵An=g(n)dn对任意n∈N+恒成立,∴g(n)=n2
(3)对于(2)中的数列d1,d2,d3,…,dn,…,这个数列中若存在不同的三项dm,dk,dp(其中正整数m,k,p成等差数列)成等比数列,
则有 dk2=dm•dp,即 (
k-1
n+1
)
2
=
m-1
m+1
p-1
p+1
,再由 2k=mp,解得 m=k=p,
这与dm,dk,dp是不同的三项相矛盾,故不存在不同的三项dm,dk,dp(其中正整数m,k,p成等差数列)成等比数列.
举一反三
在数列{an}中,a1=2,且对任意n∈N*,3an+1-an=0,则an=______.
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已知点(1,2)是函数f(x)=ax(a>0,a≠1)的图象上一点,数列{an}的前n项和是Sn=f(n)-1.
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)若bn=logaan+1,求数列{an•bn}的前n项和Tn
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已知递增等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2和a4的等差中项,
(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若bn=anlog
1
2
an
,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn+n•2n+1>62成立的正整数n的最小值.
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已知公比为正数的等比数列{an}满足:a1=3,前三项和S3=39.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=an•log3an,求数列{bn}的前n项和Tn
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已知等比数列{an}的公比为正数,且a5a7=4
a24
a2=1
,则a1=(  )
A.
1
2
B.


2
2
C.


2
D.2
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