已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4an-2Sn=1，数列{bn}满足bn=2log12an，n∈N*．（1）求数列{an}的通项an与{bn}的前n项和

题型：成都三模难度：来源：

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且4a_n-2S_n=1，数列{b_n}满足b_n=2log

1

2

an，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项a_n与{b_n}的前n项和T_n；
（2）设数列{

bn

an

}的前n项和为U_n，求证：0＜U_n≤4．

答案

（1）易得a₁=

1

2

．…（1分）
当n≥2时，4a_n-2S_n=1，…①
4a_n-1-2S_n-1=1…②
①-②，得4a_n-4a_n-1-2a_n=0⇒a_n=2a_n-1．
∴

an

an-1

=2（n≥2）．
∴数列{a_n}是以a₁=

1

2

为首项，2为公比的等比数列．
∴a_n=2^n-2．…（4分）
从而b_n=4-2n，其前n项和T_n=-n²+3n…（6分）
（2）∵{a_n}为等比数列、{b_n}为等差数列，

bn

an

=

4-2n

2n-2

，
∴U_n=

2

1 2

+

0

1

+

-2

2

+…+

6-2n

2n-3

+

4-2n

2n-2

…③

1

2

U_n=

2

1

+

0

2

+

-2

22

+…+

6-2n

2n-1

+

4-2n

2n-1

…④
③-④，得

1

2

U_n=4-

2

1

-

2

2

-

2

22

-…-

2

2n-2

-

4-2n

2n-1

，
∴U_n=

4n

2n-1

…（10分）
易知U₁=U₂=4，当n≥3时，U_n-U_n-1=

2-n

2n-3

＜0．
∴当n≥3时，数列{U_n}是递减数列．…（11分）
∴0＜U_n＜U₃=3．
故0＜U_n≤4．…（12分）