已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且4an-2Sn=1,数列{bn}满足bn=2log12an,n∈N*.(1)求数列{an}的通项an与{bn}的前n项和

已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且4an-2Sn=1,数列{bn}满足bn=2log12an,n∈N*.(1)求数列{an}的通项an与{bn}的前n项和

题型:成都三模难度:来源:
已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且4an-2Sn=1,数列{bn}满足bn=2log
1
2
an
,n∈N*
(1)求数列{an}的通项an与{bn}的前n项和Tn
(2)设数列{
bn
an
}的前n项和为Un,求证:0<Un≤4.
答案
(1)易得a1=
1
2
.…(1分)
当n≥2时,4an-2Sn=1,…①
4an-1-2Sn-1=1…②
①-②,得4an-4an-1-2an=0⇒an=2an-1
an
an-1
=2(n≥2).
∴数列{an}是以a1=
1
2
为首项,2为公比的等比数列.
∴an=2n-2.…(4分)
从而bn=4-2n,其前n项和Tn=-n2+3n…(6分)
(2)∵{an}为等比数列、{bn}为等差数列,
bn
an
=
4-2n
2n-2

∴Un=
2
1
2
+
0
1
+
-2
2
+…+
6-2n
2n-3
+
4-2n
2n-2
…③
1
2
Un=
2
1
+
0
2
+
-2
22
+…+
6-2n
2n-1
+
4-2n
2n-1
…④
③-④,得
1
2
Un=4-
2
1
-
2
2
-
2
22
-…-
2
2n-2
-
4-2n
2n-1

∴Un=
4n
2n-1
…(10分)
易知U1=U2=4,当n≥3时,Un-Un-1=
2-n
2n-3
<0.
∴当n≥3时,数列{Un}是递减数列.…(11分)
∴0<Un<U3=3.
故0<Un≤4.…(12分)
举一反三
已知数列{an}是等比数列,且a2=2,a5=16,则数列{an}的公比等于(  )
A.
1
2
B.-
1
2
C.2D.2


2
题型:昆明模拟难度:| 查看答案
在等比数列{an}中,若a2=4,a5=32,则公比应为(  )
A.2B.±2C.-2D.±
1
2
题型:成都模拟难度:| 查看答案
已知等比数列{an}的公比为2,且a1+a3=5,则a2+a4的值为(  )
A.10B.15C.20D.25
题型:怀柔区一模难度:| 查看答案
若数列{an}中,a1=
1
3
,且对任意的正整数p、q都有ap+q=apaq,则an=(  )
A.(
1
3
)n-1
B.(
1
3
)n-1
C.(
1
3
)
n
D.
π
2
题型:不详难度:| 查看答案
等比数列{an}单调递增,且满足:a1+a6=33,a3a4=32.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}满足:b1=1且n≥2时,a2abna2n-2成等比数列,Tn为{bn}前n项和,cn=
Tn+1
Tn
+
Tn
Tn+1
,证明:2n<c1+c2+…+cn<2n+3(n∈N*).
题型:不详难度:| 查看答案
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