已知:数列{an}前n项和为Sn,an+Sn=n,数列{bn}中b1=a1,bn+1=an+1-an,(1)写出数列{an}的前四项;(2)猜想数列{an}的通
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已知:数列{an}前n项和为Sn,an+Sn=n,数列{bn}中b1=a1,bn+1=an+1-an, (1)写出数列{an}的前四项; (2)猜想数列{an}的通项公式,并加以证明; (3)求数列{bn}的通项公式. |
答案
(1)∵an+Sn=n,∴n=1时,a1= n=2时,a2+S2=2,∴a2= n=3时,a3+S3=3,∴a3= n=4时,a4+S4=4,∴a4=;…(2分) (2)猜想:an=1-,下面用数学归纳法证明:…(3分) ①当n=1时,a1=1-=,猜想成立; ②假设当n=k时猜想成立,即ak=1-, 则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)-ak+1-k+ak=-ak+1+1+1-, 即2ak+1=2-,∴ak+1=1-,即当n=k+1时猜想也成立, ∴由①②知:n∈N*时an=1-都成立.…(8分) (3)∵bn+1=an+1-an,∴bn=an-an-1=(n≥2), ∵b1=a1=,∴bn=(n∈N*).…(10分) |
举一反三
据统计,生态系统中,在输入一个营养级的能量中,大约有10%~20%(包括20%)的能量可以流动到下一个营养级(称为能量传递率),在H1→H2→…→H8这条生物链中,若H1提供的能量为107焦,则H8最多获得的能量为 ______焦. |
在正项等比数列{an}中,a4+a3-a2-a1=5,则a5+a6的最小值为______. |
已知点A(-1,0),B(1,0),M是平面上的一动点,过M作直线l:x=4的垂线,垂足为N,且|MN|=2|MB|. (1)求M点的轨迹C的方程; (2)当M点在C上移动时,|MN|能否成为|MA|与|MB|的等比中项?若能求出M点的坐标,若不能说明理. |
求数列的前n项和:1+1,+4,+7,…,+3n-2,…. |
已知各项都不相等的等差数列{an}的前6项和为60,且A6为a1和a21的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn; (2)若数列{bn}满足bn+1-bn=an(n∈N*),且b1=3,求数列{}的前n项和Tn. |
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