已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+Sn=4．（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）是否存在正整数k，使成立．

题型：江苏月考题难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n+S_n=4．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）是否存在正整数k，使成立．

答案

（1）证明：由题意，a_n+S_n=4，a _n+1+S _n+1=4，
两式相减得
当n=1时，a₁+S₁=2a₁=4，
得a₁=2．
∴数列{a_n}是以首项a₁=2，公比为的等比数列．
（2）解：由（1）知
∴等价于
∴
∴
∴
∵k是正整数，
∴2k﹣1正整数，这与相矛盾，
故不存在这样的k，使不等式成立．