已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且3an+1+2Sn=3(n为正整数)(Ⅰ)求出数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若对任意正整数n,k≤Sn恒成立,求实
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已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且3an+1+2Sn=3(n为正整数) (Ⅰ)求出数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若对任意正整数n,k≤Sn恒成立,求实数k的最大值. |
答案
解:(Ⅰ)∵3an+1+2Sn,① ∴当n≥2时,3an+2Sn﹣1=3.② 由 ①﹣②,得3an+1﹣3an+2an=0. ∴,n≥2. 又∵a1=1,3a2+2a1=3,解得 . ∴数列{an}是首项为1,公比为的等比数列. ∴,(n为正整数). (2)∵数列{an}是首项为1,公比为的等比数列, ∴=, 由题意可知,对于任意的正整数n,恒有k≤, ∴数列{1﹣}单调递增, 当n=1时,数列中的最小项为, 即 ∴必有k≤1,即实数k的最大值为1. |
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