已知数列{an}的首项为1，对任意的n∈N*，定义bn=an+1-an， (1)若bn=n+1，求a4；(2)若bn+1bn-1=bn（n≥2），且b1=a，b

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已知数列{a_n}的首项为1，对任意的n∈N*，定义b_n=a_n+1-a_n，
(1)若b_n=n+1，求a₄；
(2)若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=a，b₂=b（ab≠0），
①当a=1，b=2时，求数列{b_n}的前3n项和；
②当a=1时，求证：数列{a_n}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次．

答案

(1)解：，
；
(2)①解：因为，
所以，对任意的n∈N*有，
即数列{b_n}各项的值重复出现，周期为6．
又数列{b_n}的前6项分别为1，2，2，1，，且这六个数的和为7。
设数列{b_n}的前n项和为S_n，则
当n=2k(k∈N*)时，；
当n=2k+1(k∈N*)时，

，
所以，当n为偶数时，；当n为奇数时，；
②证明：由①知：对任意的n∈N*有b_n+6=b₆，
又数列{b_n}的前6项分别为1，b，b，1，，且这六个数的和为，
设(其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6})，
所以
，
所以，数列{a_6n+i}为以为公差的等差数列．
因为b＞0时，，b＜0时，，
所以{a_6n+i}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次，
所以数列{a_n}中任意一项的值最多在此数列中出现6次，
即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次。