已知数列{an}满足：a1＝1,2n－1an＝an－1(n∈N*，n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)这个数列从第几项开始及以后各项均小于？

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}满足：a₁＝1,2^n－1a_n＝a_n－1(n∈N^*，n≥2)．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)这个数列从第几项开始及以后各项均小于？

答案

（1）a_n＝()
（2）第5项

解析

解：(1)n≥2时，＝()^n－1，
故a_n＝·…···a₁
＝()^n－1·()^n－2·…·()²·()¹
＝()^{1＋2＋…＋(n－1)}
＝()，
当n＝1时，a₁＝()⁰＝1，即n＝1时也成立．
∴a_n＝().
(2)∵(n－1)n在[1，＋∞)上单调递增，
∴()在[1，＋∞)上单调递减．
当n≥5时，≥10，a_n＝()≤.
∴从第5项开始及以后各项均小于.