在数列{an}中,已知a1=1,a2=3,an+2= 3an+1- 2an.(1)证明数列{ an+1- an}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)设
题型:不详难度:来源:
在数列{an}中,已知a1=1,a2=3,an+2= 3an+1- 2an. (1)证明数列{ an+1- an}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)设bn= ,{bn}的前n项和为Sn,求证![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191015/20191015043107-74047.png) |
答案
⑴an=a1+(a2-a1)+ (a3-a2)+…+(an- an-1)=1+2+22+…+2n-1= =2n-1; ⑵bn= =log22n=n,Sn= ,
, 所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191015/20191015043108-82182.png) =2 <2. |
解析
本题是中档题,考查等差数列的基本性质,考查计算能力,利用数列的前3项是等比数列建立方程是解题的关键.本题第二小题借用(1)结论用解方程组的方法求出数列通项,设计巧妙,值得借鉴 (1)由an+2= 3an+1- 2an得an+2- an+1= 2(an+1- an),a2-a1=2, 所以,{ an+1- an}是首项为2,公比为2的等比数列,从而得到结论。 (2)因为bn=n,那么结合已知关系式得到裂项求和,从而求解得到结论。 |
举一反三
若 , ,则 的最小值为 ( )A.6 | B.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191015/20191015043047-16717.png) | C. 8 | D.9 |
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在数列 中, ,且对于任意正整数n,都有 ,则 =______ |
设函数f(x)=xm+ax的导数f′(x)=2x+1,则数列 n∈(N*)的前n项和( ) |
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