(Ⅰ)解: . ………………3分 (Ⅱ)证法一: 证明:由已知, , . 因此,猜想 . ………………4分 ① 当 时, ,猜想成立; ② 假设 时, . 当 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191015/20191015045717-54388.png)
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191015/20191015045718-98710.png) 故当 时猜想也成立. 由 ①、② 可知,对于任意正整数 ,有 . ………………7分 设数列 的“衍生数列”为 ,则由以上结论可知
,其中 . 由于 为偶数,所以 , 所以 ,其中 . 因此,数列 即是数列 . ………………9分 证法二: 因为 ,
,
, ……
, 由于 为偶数,将上述 个等式中的第 这 个式子都乘以 ,相加得
即 , . ………………7分 由于 , , 根据“衍生数列”的定义知,数列 是 的“衍生数列”. ………………9分 (Ⅲ)证法一: 证明:设数列 , , 中后者是前者的“衍生数列”.欲证 成等差数列,只需证明 成等差数列,即只要证明 即可. ……10分 由(Ⅱ)中结论可知 ,
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, 所以, ,即 成等差数列, 所以 是等差数列. ………………13分 证法二: 因为 , 所以 . 所以欲证 成等差数列,只需证明 成等差数列即可. ………………10分 对于数列 及其“衍生数列” , 因为 ,
,
, ……
, 由于 为奇数,将上述 个等式中的第 这 个式子都乘以 , 相加得
即 . 设数列 的“衍生数列”为 , 因为 , , 所以 , 即 成等差数列. 同理可证, 也成等差数列. 即 是等差数列. 所以 成等差数列. ………………13分 |