已知数列{an}(n∈N*)满足a1=1且an=an-1cos2nπ3,则其前2013项的和为______.

已知数列{an}(n∈N*)满足a1=1且an=an-1cos2nπ3,则其前2013项的和为______.

题型:不详难度:来源:
已知数列{an}(n∈N*)满足a1=1且an=an-1cos
2nπ
3
,则其前2013项的和为______.
答案
当n=3k(k∈N)时,cos
2×3kπ
3
=cos2kπ=1

当n=3k+1(k∈N)时,cos
2×(3k+1)π
3
=cos(2kπ+
3
)
=cos
3
=-
1
2

当n=3k+2(k∈N)时,cos
2×(3k+2)π
3
=cos(2kπ+
4
3
π)=-cos
π
3
=-
1
2

由a1=1且an=an-1cos
2nπ
3

得:a2=a1cos
3
=-
1
2
a3=a2cos2π=-
1
2

a4=a3cos
3
=(-
1
2
)×(-
1
2
)=
1
4
a5=a4cos
10π
3
=
1
4
×(-
1
2
)=-
1
8

a6=a5cos
12π
3
=(-
1
8
)×cos4π=(-
1
8
)×1=-
1
8


由此可得从第一项起,数列{an}的每三项和为0,
而2013=671×3,所以,S2013=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+…+(a2011+a2012+a2013)=0.
故答案为0.
举一反三
数列{an}满足a1=2,且对任意的m,n∈N*,都有an+m=anam,则{an}的前n项和Sn=______.
题型:不详难度:| 查看答案
在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2等于an+an+1除以3的余数,则{an}的前89项的和等于______.
题型:唐山二模难度:| 查看答案
在等比数列{an}中,已知a1=3,公比q≠1,等差数列{bn}满足b1=a1,b4=a2,b13=a3
(Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(Ⅱ)记cn=(-1)nbn+an,求数列{cn}的前n项和Sn
题型:丽水一模难度:| 查看答案
已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的前60项和为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知各项均为正数的两个数列由表下给出:
题型:不详难度:| 查看答案
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定义数列{cn}:c1=0,cn=





bncn-1an
cn-1-an+bncn-1an
(n=2,3,…,5)
,并规定数列
n12345
an15312
bn162xy