已知数列{an}满足：a1=2，an+1=an+1n(n+1)，n∈N*．（I）求数列{an}的通项公式an；（II）设bn=n2nan（n∈N*），求数列{b

题型：通州区一模难度：来源：

已知数列{a_n}满足：a₁=2，an+1=an+

1

n(n+1)

，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）设bn=

n

2n

an（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

答案

（I）∵an+1=an+

1

n(n+1)

∴an+1-an=

1

n

-

1

n+1

∴a2-a1=1-

1

2

，a3-a2=

1

2

-

1

3

，…，an-an-1=

1

n-1

-

1

n

∴an-a1=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=

n-1

n

∵a₁=2，∴a_n=3-

1

n

；
（II）bn=

n

2n

an=（3n-1）•

1

2n

，
∴S_n=2•

1

2

+5•

1

22

+…+（3n-1）•

1

2n

①，
∴

1

2

S_n=2•

1

22

+5•

1

23

+…+（3n-4）•

1

2n

+（3n-1）•

1

2n+1

②，
①-②可得

1

2

S_n=2•

1

2

+3•

1

22

+…+3•

1

2n

-（3n-1）•

1

2n+1

，
∴

1

2

S_n=

5

2

-3•

1

2n

-（3n-1）•

1

2n+1

，
∴S_n=5-

3

2n-1

-

3n-1

2n

．