已知数列an满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=n2(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项;(Ⅱ)若bn=nan求数列{bn}的前n项Sn和.
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已知数列an满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=n2(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项;(Ⅱ)若bn=nan求数列{bn}的前n项Sn和.
题型:不详
难度:
来源:
已知数列a
n
满足a
1
+2a
2
+2
2
a
3
+…+2
n-1
a
n
=
n
2
(n∈N
*
).
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项;
(Ⅱ)若
b
n
=
n
a
n
求数列{b
n
}的前n项S
n
和.
答案
(Ⅰ)n=1时,a
1
=
1
2
∵
a
1
+2
a
2
+2
a
3
…+
2
n-1
a
n
=
n
2
…..(1)
∴n≥2时,
a
1
+2
a
2
+2
a
3
…+
2
n-2
a
n-1
=
n-1
2
….(2)
(1)-(2)得
2
n-1
a
n
=
1
2
即
a
n
=
1
2
n
又
a
1
=
1
2
也适合上式,∴
a
n
=
1
2
n
(Ⅱ)
b
n
=n•
2
n
,∴
S
n
=1•2+2•
2
2
+3•
2
3
+…+n•
2
n
(3)
2
S
n
=1•
2
2
+2•
2
3
+…+(n-1)•
2
n
+n•
2
n+1
(4)
(3)-(4)可得-S
n
=1•2+1•2
2
+1•2
3
+…+1•2
n
-n•2
n+1
=
2(1-
2
n
)
1-2
-n•
2
n+1
=
2
n+1
-2-n•
2
n+1
∴
S
n
=(n-1)
•2
n+1
+2
举一反三
已知数列{a
n
}满足:
a
1
=
1
2
,
a
n+1
=
a
n
2
+
a
n
,用[x]表示不超过x的最大整数,则[
1
a
1
+1
+
1
a
2
+1
+…+
1
a
2011
+1
]的值等于( )
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:不详
难度:
|
查看答案
设等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知
a
n+1
=2
S
n
+2(n∈
N
*
)
.
(I)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{
n+1
2
a
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
},{b
n
}满足:a
1
=3b
1
=3,a
2
=6,b
n+1
=2b
n
-2
n
,b
n
=a
n
-na
n-1
(n≥2,n∈N
*
).
(I)探究数列
{
b
n
2
n
}
是等差数列还是等比数列,并由此求数列{b
n
}的通项公式;
(II)求数列{na
n
}的前n项和S
n
.
题型:安徽模拟
难度:
|
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已知数列{a
n
}的前n项和为s
n
,且a
n
=n•3
n
,求s
n
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,a
1
=2,S
n
=na
n
-n(n-1).
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{b
n
}满足:a
n
=
b
1
3+1
+
b
2
3×2+1
+
b
3
3×3+1
+…+
b
n
3n+1
,求数列{b
n
}的通项公式;
(Ⅲ)令c
n
=
a
n
b
n
4
(n∈N
*
),求数列{c
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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