设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an+1=2Sn +2(n∈N*)．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{n+12an}的前n项和Tn．

题型：不详难度：来源：

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知an+1=2Sn +2(n∈N*)．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

n+1

2an

}的前n项和T_n．

答案

（I）由an+1=2Sn +2(n∈N*)可得a_n=2s_n-1+2（n≥2）
两式相减可得，a_n+1-a_n=2a_n
即a_n+1=3a_n（n≥2）
又∵a₂=2a₁+2，且数列{a_n}为等比数列
∴a₂=3a₁
则2a₁+2=3a₁
∴a₁=2
∴an=2•3n-1
（II）由（I）知，an=2•3n-1
∴

n+1

2an

=

n+1

4•3n-1

Tn=

2

4•30

+

3

4•31

+

4

4•32

+…+

n+1

4•3n-1

1

3

Tn=

2

4•31

+

3

4•32

+…+

n

4•3n-1

+

n+1

4•3n

两式相减可得，

2

3

Tn=

2

4•30

+

1

4•3

+

1

4•32

+…+

1

4•3n-1

-

n+1

4•3n

=

1

2

+

1

4

×

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n+1

4•3n

=

5

8

-

2n+5

8•3n