已知数列{an}满足:a1=12,an+1=an2+an,用[x]表示不超过x的最大整数,则[1a1+1+1a2+1+…+1a2011+1]的值等于(  )A.

已知数列{an}满足:a1=12,an+1=an2+an,用[x]表示不超过x的最大整数,则[1a1+1+1a2+1+…+1a2011+1]的值等于(  )A.

题型:不详难度:来源:
已知数列{an}满足:a1=
1
2
an+1=an2+an,用[x]表示不超过x的最大整数,则[
1
a1+1
+
1
a2+1
+…+
1
a2011+1
]的值等于(  )
A.0B.1C.2D.3
答案
又因为an+1=an2+an,即an+1-an =an2>0,所以数列是增数列,
并且
1
an
>0,
又因为an+1=an2+an,即an+1=an (1+an)
1
an+1
=
1
an•(1+an)
=
1
an
-
1
1+an

所以
1
an+1
=
1
an
-
1
an+1
,即
1
an+1
=
1
an
-
1
an+1

1
a1+1
+
1
a2+1
+…+
1
a2011+1

=
1
a1
-
1
a2
+
1
a2
-
1
a3
+…+
1
a2010
-
1
a2011

=
1
a1
-
1
a2011
1
a1
=2,
a1=
1
2
a2=
3
4
a3=
16
21

1
a1+1
+
1
a2+1
=
2
3
+
4
7
>1.
所以
1
a1+1
+
1
a2+1
+…+
1
a2011+1
∈(1,2).
所以[
1
a1+1
+
1
a2+1
+…+
1
a2011+1
]=1.
故选B.
举一反三
设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知an+1=2Sn +2(n∈N*)
(I)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{
n+1
2an
}的前n项和Tn
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已知数列{an},{bn}满足:a1=3b1=3,a2=6,bn+1=2bn-2n,bn=an-nan-1(n≥2,n∈N*).
(I)探究数列{
bn
2n
}
是等差数列还是等比数列,并由此求数列{bn}的通项公式;
(II)求数列{nan}的前n项和Sn
题型:安徽模拟难度:| 查看答案
已知数列{an}的前n项和为sn,且an=n•3n,求sn
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设数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn=nan-n(n-1).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}满足:an=
b1
3+1
+
b2
3×2+1
+
b3
3×3+1
+…+
bn
3n+1
,求数列{bn}的通项公式;
(Ⅲ)令cn=
anbn
4
(n∈N*),求数列{cn}的前n项和Tn
题型:不详难度:| 查看答案
若数列{an}通项公式an=
1
n(n+1)
(n∈N+)
,Sn为其前n项和,
(1)试计算S1,S2,S3的值;
(2)猜测出Sn的公式.
题型:不详难度:| 查看答案
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