已知数列{an},{bn},其中a1=12,数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥1),数列{bn}满足b1=2,bn+1=2bn.(Ⅰ)求数列{an},{

已知数列{an},{bn},其中a1=12,数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥1),数列{bn}满足b1=2,bn+1=2bn.(Ⅰ)求数列{an},{

题型:东城区一模难度:来源:
已知数列{an},{bn},其中a1=
1
2
,数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥1),数列{bn}满足b1=2,bn+1=2bn
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)是否存在自然数m,使得对于任意n∈N*,n≥2,有1+
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
m-8
4
恒成立?若存在,求出m的最小值;
(Ⅲ)若数列{cn}满足cn=





1
nan
,n为奇数
bn,n为偶数
当n是偶数时,求数列{cn}的前n项和Tn
答案
(Ⅰ)因为Sn=n2an(n≥1),
当n≥2时,Sn-1=(n-1)2an-1
所以an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1
所以(n+1)an=(n-1)an-1
an
an-1
=
n-1
n+1

a1=
1
2

所以an=
an
an-1
an-1
an-2
an-2
an-3
••
a3
a2
a2
a1
a1
=
n-1
n+1
n-2
n
n-3
n-1
••
2
4
1
3
1
2
=
1
n(n+1)

当n=1时,上式成立
因为b1=2,bn+1=2bn
所以{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,故bn=2n
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=2n
1+
1
b1
+
1
b2
++
1
bn-1
=1+
1
2
+
1
22
++
1
2n-1
=2-
1
2n-1

假设存在自然数m,使得对于任意n∈N*,n≥2,有1+
1
b1
+
1
b2
++
1
bn-1
m-8
4
恒成立,
2-
1
2n-1
m-8
4
恒成立.
m-8
4
≥2
,解得m≥16.
所以存在自然数m,使得对于任意n∈N*,n≥2,有1+
1
b1
+
1
b2
++
1
bn-1
m-8
4
恒成立.此时m的最小值为16.
(Ⅲ)当n是奇数时,Tn=[
1
a1
+
1
3a3
++
1
nan
]+(b2+b4++bn-1)

=(2+4++n+1)+(22+24++2n-1)=
2+n+1
2
n+1
2
+
4(1-4
n-1
2
)
1-4

=
n2+4n+3
4
+
4
3
(2n-1-1)

当n是偶数时,Tn=[
1
a1
+
1
3a3
++
1
(n-1)an-1
]+(b2+b4++bn)

=(2+4++n)+(22+24++2n)=
2+n
2
n
2
+
4(1-4
n
2
)
1-4
=
n2+2n
4
+
4
3
(2n-1)

因此Tn=





n2+4n+3
4
+
4
3
(2n-1-1),当n为奇数时
n2+2n
4
+
4
3
(2n-1),当n为偶数时.
举一反三
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
2012×2013
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an}和{bn},an=n,bn=2n,定义无穷数列{cn}如下:a1,b1,a2,b2,a3,b3,…,an,bn,…
(1)写出这个数列{cn}的一个通项公式(不能用分段函数)
(2)指出32是数列{cn}中的第几项,并求数列{cn}中数值等于32的两项之间(不包括这两项)的所有项的和
(3)如果cx=cy(x,y∈N*,且x<y),求函数y=f(x)的解析式,并计算cx+1+cx+3+…+cy(用x表示)
题型:不详难度:| 查看答案
数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0,n∈N.
(1)求数列{an}的通项;
(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn
题型:不详难度:| 查看答案
在数列{an}中,已知a1=
1
4
an+1
an
=
1
4
bn+2=3log
1
4
an(n∈N*)

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:数列{bn}是等差数列;
(3)设数列{cn}满足cn=an•bn,求{cn}的前n项和Sn
题型:济南三模难度:| 查看答案
设n∈N*,圆Cn:x2+y2=
R2n
(Rn>0)与y轴正半轴的交点为M,与曲线y=


x
的交点为N(
1
n
yn
),直线MN与x轴的交点为A(an,0).
(1)用n表示Rn和an
(2)求证:an>an+1>2;
(3)设Sn=a1+a2+a3+…+an,Tn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
,求证:
7
5
Sn-2n
Tn
3
2
题型:佛山一模难度:| 查看答案
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