已知数列{an}，其前n项和Sn满足Sn+1=2Sn+1，且a1=1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn．

题型：开封一模难度：来源：

已知数列{a_n}，其前n项和S_n满足S_n+1=2S_n+1，且a₁=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

答案

（Ⅰ）∵S_n+1=2S_n+1，
∴S_n+1+1=2（S_n+1），
∴数列{S_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴S_n+1=2×2^n-1
∴S_n=2ⁿ-1
∴a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（n≥2）
n=1时，a₁=1也满足上式，
∴a_n=2^n-1；
（Ⅱ）数列{na_n}的前n项和T_n=1×2⁰+2×2¹+…+n×2^n-1，①
2T_n=1×2¹+2×2²+…+n×2ⁿ，②
①-②整理得T_n=（n-1）2ⁿ+1