(I)当n=2时,a2=a2-1+2•2•32-2=2+4=6, 当n=3时,a3=a3-1+2•3•33-2=9+18=27. 因为an=an-1+2n•3n-2,所以=+2•3n-2. 当n≥2时,由累加法得-=2+2×3+2×32+…+2×3n-2, 因为a1=1,所以n≥2时,有=1+=3n-1,即an=n•3n-1(n≥2). 又n=1时,a1=1•31-1=1, 故an=n•3n-1(n∈N*). (II)n∈N*时,bn==,则S2n=1+++…+. 记函数f(n)=S2n-n=(1+++…+)-n, 所以f(n+1)=(1+++…+)-(n+1). 则f(n+1)-f(n)=(++…+)-1<-1<0. 所以f(n+1)<f(n). 由于f(1)=S21-1=(1+)-1>0,此时S21>1;f(2)=S22-2=(1+++)-2>0, 此时S22>2;f(3)=S23-3=(1+++++++)-3<0,此时S23<3; 由于f(n+1)<f(n),故n≥3时,f(n)≤f(3)<0,此时S2n<n. 综上所述,当n=1,2时,S2n>n;当n≥3(n∈N*)时,S2n<n. (III)证明:对于cn==3n,有=. 当n≥2时,≤==-. 所以当n≥2时,Tn=++…+≤+(-)+(-)+…+(-)=2-<2. 且T1=<2. 故对n∈N*,Tn<2得证. |