设数列{an}满足：a1=56，且以a1，a2，a3，…，an为系数的一元二次方程an-1x2-anx+1=0（n∈N*，n≥2）都有根α，β，且两个根α，β满

题型：不详难度：来源：

设数列{a_n}满足：a1=

5

6

，且以a₁，a₂，a₃，…，a_n为系数的一元二次方程a_n-1x²-a_nx+1=0（n∈N^*，n≥2）都有根α，β，且两个根α，β满足3α-αβ+3β=1．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求{a_n}的前n项和S_n．

答案

由3α-αβ+3β=1及韦达定理得3(α+β)-αβ=3

an

an-1

-

1

an-1

=1⇒an=

1

3

an-1+

1

3

(n∈N*，n≥2)．
（1）设有λ满足an+λ=

1

3

(an-1+λ)⇒λ=-

1

2

，即an-

1

2

=

1

3

(an-1-

1

2

)．
所以数列{a_n-

1

2

]是以（a1-

1

2

）为首项，

1

3

为公比的等比数列．
所以an-

1

2

=(a1-

1

2

)•(

1

3

)n-1⇒an=(

1

3

)n+

1

2

（n∈N^*）
（2）Sn=a1+a2++an=

1

3

+(

1

3

)2++(

1

3

)n+

n

2

=

n+1

2

-

1

2

•(

1

3

)n