设函数f(x)=13x3+nx2+(n2-1)x+1112n的导函数在区间[n，+∞）上的最小值为an（n∈N*）（1）求an；（2）设bn=1an2，求数列b

题型：不详难度：来源：

设函数f(x)=

1

3

x3+nx2+(n2-1)x+

11

12

n的导函数在区间[n，+∞）上的最小值为a_n（n∈N^*）
（1）求a_n；
（2）设bn=

1

an2

，求数列b_n]的前n项的和S_n．

答案

（1）由f(x)=

1

3

x3+nx2+(n2-1)x+

11

12

n
得f"（x）=x²+2nx+（n²-1）
在区间[n，+∞）上的最小值为

4n2-1

，
∴a_n=

4n2-1

．
（2）因为b_n=

1

a 2n

=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)．