已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N*)且a1,a2,…,an构成一个数列,又f(1)=n2(1)求数列{an} 的通项公式;(2
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已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N*)且a1,a2,…,an构成一个数列,又f(1)=n2(1)求数列{an} 的通项公式;(2
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=a
1
x+a
2
x
2
+a
3
x
3
+…+a
n
x
n
(n∈N
*
)且a
1
,a
2
,…,a
n
构成一个数列,又f(1)=n
2
(1)求数列{a
n
} 的通项公式;
(2)比较f(
1
3
)与1的大小.
答案
(1)f(1)=n
2
得出a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
=n
2
①
当n≥2时a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n-1
=(n-1)
2
②
①-②得a
n
=n
2
-(n-1)
2
=2n-1
又在①中令n=1得出a
1
=1,也适合上式
所以数列{a
n
} 的通项公式a
n
=2n-1.
(2)f(
1
3
)=(
1
3
)+3(
1
3
)
2
+5(
1
3
)
3
+…+(2n-1)(
1
3
)
n
,
两边都乘以
1
3
,可得
1
3
f(
1
3
)=(
1
3
)
2
+3(
1
3
)
3
+5(
1
3
)
4
+…+(2n-1)(
1
3
)
n+1
,
两式相减,得
2
3
f(
1
3
)=(
1
3
)+2(
1
3
)
2
+2(
1
3
)
3
+…+2(
1
3
)
n
…-(2n-1)(
1
3
)
n+1
,
=
1
3
+
2
9
[1-
(
1
3
)
n-1
]
1-
1
3
-(2n-1)(
1
3
)
n+1
,
=
2
3
-
(
1
3
)
n
•
2n+2
3
则f(
1
3
)=
1-
(
1
3
)
n
•(n+1)
<1
举一反三
已知数列{a
n
}中,
a
n
=1-
1
2
n
,若它的前n项的和
S
n
=
321
64
,则n=______.
题型:不详
难度:
|
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已知单调递增的等比数列{a
n
}满足:a
2
+a
3
+a
4
=28,且a
3
+2是a
2
,a
4
的等差中项.
(I)求数列{a
n
}的通项公式;
(II)设
b
n
=
a
n
lo
g
1
2
a
n
,求数列{
b
n
}
的前n项和S
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的通项公式是a
n
=2
n-1
,数列{b
n
}的通项公式是b
n
=3n,令集合A={a
1
,a
2
,…,a
n
,…},B={b
1
,b
2
,…,b
n
,…},n∈N
*
.将集合A∪B中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{c
n
}.则数列{c
n
}的前28项的和S
28
=______.
题型:闸北区一模
难度:
|
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已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
n
=
1
2
(3n+S
n
)对一切正整数n成立
(I)证明:数列{3+a
n
}是等比数列,并求出数列{a
n
}的通项公式;
(II)设
b
n
=
n
3
a
n
,求数列{b
n
}的前n项和B
n
.
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}的前n项和s
n
=2a
n
-3(n∈N
*
),则a
5
=______.
题型:不详
难度:
|
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