已知数列{an}的首项a1=1,a2=3,前n项的和为Sn,且Sn+1、Sn、Sn﹣1(n≥2)分别是直线l上的点A、B、C的横坐标,,设b1=1,bn+1=l
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已知数列{an}的首项a1=1,a2=3,前n项的和为Sn,且Sn+1、Sn、Sn﹣1(n≥2)分别是直线l上的点A、B、C的横坐标,,设b1=1,bn+1=l
题型:四川省期末题
难度:
来源:
已知数列{a
n
}的首项a
1
=1,a
2
=3,前n项的和为S
n
,且S
n+1
、S
n
、S
n﹣1
(n≥2)分别是直线l上的点A、B、C的横坐标,
,设b
1
=1,b
n+1
=log
2
(a
n
+1)+b
n
.
(1)判断数列{a
n
+1}是否为等比数列,并证明你的结论.
(2)设
,数列{c
n
}的前n项和为T
n
,证明:T
n
<1.
答案
(1)解:判断数列{a
n
+1}为等比数列,证明如下:
由题意S
n+1
、S
n
、S
n﹣1
(n≥2)分别是直线l上的点A、B、C的横坐标,
, 得
∴a
n+1
+1=2(a
n
+1)(n≥2),
又∵a
1
=1,a
2
=3
∴数列{a
n
+1}是以a
1
+1=2为首项,以2为公比的等比数列.
则a
n
+1=2
n
∴a
n
=2
n
﹣1(n∈N*)
(2)证明:由a
n
=2
n
﹣1及b
n+1
=log
2
(a
n
+1)+b
n
得b
n+1
=b
n
+n,
∴
,
则
=
,
数列{c
n
}的前n项和为T
n
为:
=
.
举一反三
(1)n∈N*,求数列
的前n项和S
n
(2)n∈N*,求证:数列
的前n项和
(3)n∈N*,求证:
.
题型:四川省月考题
难度:
|
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设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
n
=(m+1)﹣ma
n
对于任意的正整数n都成立,其中m为常数,且m<﹣1.
(1)求证:数列{a
n
}是等比数列;
(2)设数列{a
n
}的公比q=f(m),数列{b
n
}满足:
,b
n
=f(b
n﹣1
)
(n≥2,n∈N),求证:数列{
}是等差数列,并求数列{b
n
b
n+1
}的前n项和.
题型:新疆自治区月考题
难度:
|
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在等比数列{a
n
}中,a
1
a
2
a
3
=27,a
2
+a
4
=30.求:
(1)a
1
和公比q;
(2)若{a
n
}各项均为正数,求数列{na
n
}的前n项和.
题型:江苏月考题
难度:
|
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设数列{a
n
}满足
,令
.
(1)试判断数列{b
n
}是否为等差数列?
(2)若
,求{c
n
}前n项的和S
n
;
(3)是否存在m,n(m,n∈N*,m≠n)使得1,a
m
,a
n
三个数依次成等比数列?若存在,求出m,n;若不存在,说明理由.
题型:江苏月考题
难度:
|
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已知函数f(n)=
且a
n
=f(n)+f(n+1),则a
1
+a
2
+a
3
+…+a
100
等于
[ ]
A.0
B.100
C.﹣100
D.10200
题型:江西省月考题
难度:
|
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