已知数列{an}中，a1=1，a n+1 a n﹣1=ana n﹣1+an2（n∈N，n≥2），且=kn+1．（1）求证：k=1；（2）求数列{an}的通项公式

题型：四川省月考题难度：来源：

已知数列{a_n}中，a₁=1，a _n+1 a _n﹣1=a_na _n﹣1+a_n²（n∈N，n≥2），且=kn+1．
（1）求证：k=1；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{}的前n项和．

答案

证明：（1）∵=kn+1，a₁=1
故
又因为a₁=1，a _n+1 a _n﹣1=a_na _n﹣1+a_n²（n≥2）则
，
即
∵
∴a₂=2k
∴k+1=2k
∴k=1.
（2）∵=n+1
∴a_n==n（n﹣1）（n﹣2）…21=n!
（3）因为，设其前n项和为 S_n，
当x=1时，，
当x≥1时，…（1）
x…（2）
由（1）﹣（2）得：
∴
综上所述：