已知数列{an}的前n项和Sn，且，其中a1=1，an≠0，（1）求a2，a3，a4，并猜想数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{an}是等差数列；（3）设

题型：浙江省模拟题难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和S_n，且，其中a₁=1，a_n≠0，
（1）求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{a_n}是等差数列；
（3）设数列{b_n}满足，T_n为{b_n}的前n项和，
求证：2T_n＞log₂（2a_n+1），n∈N*．

答案

（1）解：，
∴a₂=2，a₃=3，a₄=4
（2）证明：已知式即，故
因为a_n≠0，当然a_n+1≠0，所以a_n+2﹣a_n=2（n∈N*）．
由于，且a₁=1，故a₂=2．
于是a_2m﹣1=1+2（m﹣1）=2m﹣1，a_2m=2+2（m﹣1）=2m，
所以a_n=n（n∈N*）．
（3）解：由，
得，故．
从而.
．
因此
=
=
设
故．
注意到f（n）＞0，所以f（n+1）＞f（n）．
特别地，
从而2T_n﹣log_{2 ^(2an⁺¹⁾}=log₂ f（n）＞0．
所以2T_n＞log₂ (2a_n+1)，n∈N*．