已知函数f(x)=lnx-a(x-1)x(a>0).(1)求f(x)的最小值;(2)证明:不等式1lnx-12<1x-1对一切x>1恒成立.
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已知函数f(x)=lnx-a(x-1)x(a>0).(1)求f(x)的最小值;(2)证明:不等式1lnx-12<1x-1对一切x>1恒成立.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f(x)=lnx-
a(x-1)
x
(a>0)
.
(1)求f(x)的最小值;
(2)证明:不等式
1
lnx
-
1
2
<
1
x-1
对一切x>1
恒成立.
答案
(1)∵
f(x)=lnx-
a(x-1)
x
(a>0)
,∴
f′(x)=
x-a
x
2
∴f(x)在(0,a)上递减,在(a,+∞)上递增
∴f(x)的最小值为f(a)=lna+1-a;
(2)证明:只需证明
1
lnx
<
1
x-1
+
1
2
,即证
lnx>
2(x-1)
x+1
令g(x)=
lnx-
2(x-1)
x+1
,则g′(x)=
(x-1
)
2
x(x+1
)
2
>0
∵x>1,∴g′(x)>0,∴g(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴g(x)>g(1)=0,∴
lnx>
2(x-1)
x+1
故原不等式成立.
举一反三
已知函数
f(x)=x+
2
x
,则函数f(x)的单调递增区间为______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x),(x∈R)上任一点(x
0
,y
0
)的切线方程为y-y
0
=(x
0
-2)(x
0
2
-1)(x-x
0
),那么函数f(x)的单调递减区间是( )
A.[-1,+∞)
B.(-∞,2]
C.(-∞,-1)和(1,2)
D.[2,+∞)
题型:不详
难度:
|
查看答案
f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)-f(x)>0,对任意正数a、b,若a<b,则af(a),bf(b)的大小关系为______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=2t
2
-2(e
x
+x)t+e
2x
+x
2
+1,g(x)=
1
2
f′(x).
(I)证明:当
t<2
2
时,g(x)在R上是增函数;
(II)对于给定的闭区间[a,b],试说明存在实数k,当t>k时,g(x)在闭区间[a,b]上是减函数;
(III)证明:
f(x)≥
3
2
.
题型:辽宁
难度:
|
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设函数f(x)=x
3
+ax
2
-a
2
x+m(a≥0).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在x∈[-1,1]内没有极值点,求a的取值范围;
(Ⅲ)若对任意的a∈[3,6),不等式f(x)≤1在x∈[-2,2]上恒成立,求m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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