已知f(n)=1+123+133+143…+1n3,g(n)=32-12n2,n∈N*.(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;(2)猜想

已知f(n)=1+123+133+143…+1n3,g(n)=32-12n2,n∈N*.(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;(2)猜想

题型:不详难度:来源:
已知f(n)=1+
1
23
+
1
33
+
1
43
…+
1
n3
g(n)=
3
2
-
1
2n2
,n∈N*
(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;
(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.
答案
(1)当n=1时,f(1)=1,g(1)=1,所以f(1)=g(1);
当n=2时,f(2)=
9
8
g(2)=
11
8

所以f(2)<g(2);
当n=3时,f(3)=
251
216
g(3)=
312
216

所以f(3)<g(3).
(2)由(1),猜想f(n)≤g(n),下面用数学归纳法给出证明:
①当n=1,2,3时,不等式显然成立.
②假设当n=k(k≥3)时不等式成立,
1+
1
23
+
1
33
+
1
43
+
1
k3
3
2
-
1
2k2

那么,当n=k+1时,f(k+1)=f(k)+
1
(k+1)3
3
2
-
1
2k2
+
1
(k+1)3

因为
1
2(k+1)2
-(
1
2k2
-
1
(k+1)3
)=
k+3
2(k+1)3
-
1
2k2
=
-3k-1
2(k+1)3k2
<0

所以f(k+1)<
3
2
-
1
2(k+1)2
=g(k+1)

由①、②可知,对一切n∈N*,都有f(n)≤g(n)成立.
举一反三
关于x的不等式x2+mx+6>0(m为常数).
(1)如果m=-5,求不等式的解集;
(2)如果不等式的解集为{x|x<1或x>6},求实数m的值.
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a<b<0,下列不等式中正确的是(  )
A.b2<a2B.
1
a
1
b
C.
b
a
>1
D.


-a


-b
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已知a=log23,b=2-2,c=sin
6
5
π,则a,b,c的从大到小排列是______.(用“>”连接)
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已知a>b>0,且c>d>0.则


a
d


b
c
的大小关系是______.
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下列能使
1
a
1
b
成立的一个条件是(  )
A.a>b>0B.0>a>bC.a>0>bD.b>0>a
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