已知f(n)=(1-13)(1-132)(1-133)…(1-13n),g(n)=12(1+13n),其中n∈N*.(1)分别计算f(1),f(2),f(3)和
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已知f(n)=(1-13)(1-132)(1-133)…(1-13n),g(n)=12(1+13n),其中n∈N*.(1)分别计算f(1),f(2),f(3)和
题型:不详
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已知f(n)=(1-
1
3
)(1-
1
3
2
)(1-
1
3
3
)…(1-
1
3
n
),g(n)=
1
2
(1+
1
3
n
),其中n∈N*.
(1)分别计算f(1),f(2),f(3)和g(1),g(2),g(3)的值;
(2)由(1)猜想f(n)与g(n)(n∈N*)的大小关系,并证明你的结论.
答案
(1)f(1)=
1-
1
3
=
2
3
,f(2)=
(1-
1
3
)(1-
1
3
2
)
=
16
27
,f(3)=
(1-
1
3
)(1-
1
3
2
)(1-
1
3
3
)
=
416
729
.
g(1)=
1
2
×(1+
1
3
)
=
2
3
,g(2)=
1
2
×(1+
1
3
2
)
=
5
9
,g(3)=
1
2
×(1+
1
3
3
)
=
14
27
.
(2)猜想n=1,f(1)=g(1);n≥2时,f(n)≥g(n).
证明:①当n=1,2时,f(1)=g(1),f(2)>g(2).
②当n=k≥2时,假设f(k)>g(k)成立;
则当n=k+1时,f(k+1)=f(k)
(1-
1
3
k+1
)
>
1
2
(1+
1
3
k
)(1-
1
3
k+1
)
=
1
2
(1+
1
3
k
-
1
3
k+1
-
1
3
2k+1
)
>
1
2
(1+
1
3
k+1
)
.
即n=k+1时,不等式也成立.
综上可知:不等式对于∀n∈N
*
.不等式都成立.
举一反三
设a=x
2
-x,b=x-2则a与b的大小关系为______.
题型:不详
难度:
|
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若不等式ax
2
+5x-2>0的解集是
{x|
1
2
<x<2}
,
(1)求实数a的值;
(2)求不等式ax
2
-5x+a
2
-1>0的解集.
题型:不详
难度:
|
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如果a,b∈R,并且a>b,那么下列不等式中不一定能成立的是______.
①-a<-b②a-1>b-2③a-b>b-a④a
2
>ab.
题型:不详
难度:
|
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设
P=
2
,
Q=
6
-
2
,则P,Q的大小关系是______.
题型:不详
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|
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已知1≤x≤3,-1≤y≤4,则3x+2y的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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