已知二次函数f(x)=x2-ax+a(x∈R)同时满足:①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素;②在定义域内存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x
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已知二次函数f(x)=x2-ax+a(x∈R)同时满足:①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素;②在定义域内存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x
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已知二次函数f(x)=x
2
-ax+a(x∈R)同时满足:①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素;②在定义域内存在0<x
1
<x
2
,使得不等式f(x
1
)>f(x
2
)成立,设数列{a
n
}的前n项和S
n
=f(n).
(I)求函数f(x)的表达式;
(II)设各项均不为0的数列{b
n
}中,所有满足b
i
•b
i+1
<0的整数i的个数称为这个数列{b
n
}的变号数,令
b
n
=1-
a
a
n
(n∈N
*
),求数列{b
n
}的变号数.
答案
(Ⅰ)∵不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素
∴△=a
2
-4a=0解得a=0或a=4
当a=0时函数f(x)=x
2
在(0,+∞)递增,不满足条件②
当a=4时函数f(x)=x
2
-4x+4在(0,2)上递减,满足条件②
综上得a=4,即f(x)=x
2
-4x+4.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知S
n
=n
2
-4n+4=(n-2)
2
当n=1时,a
1
=S
1
=1
当n≥2时a
n
=S
n
-S
n-1
=(n-2)
2
-(n-3)
2
=2n-5
∴
a
n
=
1,(n=1)
2n-5.(n≥2)
由题设可得
b
n
=
-3,(n=1)
1-
4
2n-5
.(n≥2)
∵b
1
=-3<0,b
2
=1+4=5>0,b
3
=-3<0,
∴i=1,i=2都满足b
i
•b
i+1
<0
∵当n≥3时,
b
n+1
-
b
n
=
4
2n-5
-
4
2n-3
=
8
(2n-5)(2n-3)
>0
即当n≥3时,数列{b
n
}递增,
∵
b
4
=-
1
3
<0,由
1-
4
2n-5
>0
⇒n≥5,
可知i=4满足b
i
•b
i+1
<0
∴数列{b
n
}的变号数为3.
举一反三
已知x>0,P=
1+x
,Q=1
+
x
2
,则P与Q满足( )
A.P>Q
B.P<Q
C.P≥Q
D.不能确定
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下列不等式在a<b<0的条件下不能成立的是( )
A.a
-1
>b
-1
B.
a
1
3
<
b
1
3
C.b
2
<a
2
D.
a
-
2
3
>
b
-
2
3
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如果a<0,-1<b<0,那么下列不等式中正确的是( )
A.a<ab
2
<ab
B.ab
2
<a<ab
C.a<ab<ab
2
D.ab
2
<ab<a
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若已知不等式2x-1>m(x
2
-1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立,则x的取值范围为______.
题型:不详
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定义
max{a,b}=
a(a≥b)
b(a<b)
,已知实数x,y满足|x|≤1,|y|≤1,设z=max{x+y,2x-y},则z的取值范围是______.
题型:不详
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|
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