试题分析:(Ⅰ)容易求得: . 1分 故可以猜想 .下面利用数学归纳法加以证明: 显然当 时,结论成立. 2分 假设当 ; 时(也可以 ),结论也成立,即
, . 3分 那么当 时,由题设与归纳假设可知:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191016/20191016003736-81952.png) 4分 即当 时,结论也成立,综上,对 , 成立. 6分 (Ⅱ)![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191016/20191016003737-42631.png) , 8分 所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191016/20191016003737-52675.png)
. 10分 所以只需要证明
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191016/20191016003734-21184.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191016/20191016003734-53438.png)
(显然成立) 所以对任意的自然数 ,都有 . 12分 点评:数学归纳法用来证明与正整数有关的题目,证明步骤:1,证明当 时命题成立。2,假设当 时命题成立,借此证明当 是命题成立,综上1,2得证;数列求和常用的方法有分组求和裂项相消求和错位相减求和等 |