甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速驶到乙地,速度不得超过c千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v(km/

甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速驶到乙地,速度不得超过c千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v(km/

题型:不详难度:来源:
甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速驶到乙地,速度不得超过c千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v(km/h)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a 
(1)把全程运输成本y(元)表示为v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
答案
(1)函数及其定义域为y=S(+bv),v∈(0,c. (2) 为使全程运输成本y最小,当c时,行驶速度应为v=, 当>c时行驶速度应为v=c.
解析
(1)依题意知,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为y=a·+bv2·=S(+bv)
∴所求函数及其定义域为y=S(+bv),v∈(0,c.
(2)依题意知,Sabv均为正数
S(+bv)≥2S                     ①
当且仅当=bv,即v=时,①式中等号成立  
   
c则当v=时,有ymin=2S
>c,则当v∈(0,c时,有S(+bv)-S(+bc)
=S[()+(bvbc)]= (cv)(abcv)
cv≥0,且c>bc2, ∴abcvabc2>0
S(+bv)≥S(+bc),当且仅当v=c时等号成立,
也即当v=c时,有yminS(+bc);
综上可知,为使全程运输成本y最小,当c时,行驶速度应为v=, 当>c时行驶速度应为v=c.
解法二: (1)同解法一.
(2)∵函数y=S(+bv), v∈(0,+∞),
x∈(0, )时,y单调减小,
x∈(,+∞)时y单调增加,
x=y取得最小值,而全程运输成本函数为y=Sb(v+),v∈(0,c:
   
∴当c时,则当v=时,y最小,若>c时,则当v=c时,y最小. 结论同上. 
举一反三
求使a(x>0,y>0)恒成立的a的最小值.
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已知xy是正变数,ab是正常数,且=1,x+y的最小值为   
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已知是1+2与1-2的等比中项,则的最大值为
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为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱(如图),污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a米,高度为b米,已知流出的水中该杂质的质量分数与ab的乘积ab成反比,现有制箱材料60平方米,问当ab各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(AB孔的面积忽略不计)?

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均为正实数,且,则的最小值为____________________.
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