如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长为3，AA1=，D为CB延长线上一点，且BD=BC。（1）求证：直线BC1∥面AB1D；（2）求二面角B1-AD-

题型：北京高考真题难度：来源：

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面边长为3，AA₁=，D为CB延长线上一点，且BD=BC。
（1）求证：直线BC₁∥面AB₁D；
（2）求二面角B₁-AD-B的大小；
（3）求三棱锥C₁-ABB₁的体积。

答案

解：（1）证明：∵CD∥C₁B₁，
又BD=BC=B₁C₁，
∴四边形BDB₁C₁是平行四边形
∴BC₁∥DB₁
又DB₁平面AB₁D，BC₁平面AB₁D
∴直线BC₁∥平面AB₁D。

（2）过B作BE⊥AD于E，连结EB₁，
∵BB₁⊥平面ABD
∴B₁E⊥AD
∴∠B₁EB是二面角B₁-AD-B的平面角
∵BD=BC=AB
∴E是AD的中点，
∴BE=AC=
 在Rt△B₁BE中，tan∠B₁EB=
∴∠B₁EB=60°
即二面角B₁-AD-B的大小为60°。
（3）过A作AF⊥BC于F，
∵BB₁⊥平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
∴ AF⊥平面BB₁C₁C且AF=
∴==
=
=
即三棱锥C₁-ABB₁的体积为。