过点A（0，a）作直线交圆M：（x-2）2+y2=1于点B、C，（理）在BC上取一点P，使P点满足：AB=λAC，BP=λPC，(λ∈R)（文）在线段BC取一点

题型：不详难度：来源：

过点A（0，a）作直线交圆M：（x-2）²+y²=1于点B、C，
（理）在BC上取一点P，使P点满足：

AB

=λ

AC

，

BP

=λ

PC

，(λ∈R)
（文）在线段BC取一点P，使点B、P、C的横坐标的倒数成等差数列
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若（1）的轨迹交圆M于点R、S，求△MRS面积的最大值．

答案

（1）（理）令P（x，y），因为

AB

=λ

AC

，

BP

=λ

PC

，(λ∈R)
所以x_B=λx_C，x-x_B=λ（x_C-x）
∴

x-xB

xC-x

=

xB

xC

，
∴x=

2xBxC

xB+xC

①
设过A所作的直线方程为y=kx+a，（显然k存在）
又由

y=kx+a (x-2)2+y2=1

得（1+k²）x²+（2ak-4）x+a²+3=0
∴xB+xC=

4-2ak

1+k2

，xBxC=

2a+3k

2-ak

代入①，得x=

a2+3

2-ak

，
∴y=kx+a=

2a+3k

2-ak

消去k，得所求轨迹为2x-ay-3=0，（在圆M内部）
（文）令P（x，y），因为点B、P、C的横坐标的倒数成等差数列
所以  

2

x

=

1

xB

+

1

xc

⇒x=

2xBxc

xB+xc

（以下同理）
（2）上述轨迹过为定点（

3

2

，0）的直线在圆M内部分
，由

2x-ay-3=0 (x-2)2+y2=1

得（a²+4）y²-2ay-3=0
则|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=4

a2+3 (a2+4)2

∴S△MRS=

1

2

×

1

2

×4

a2+3 (a2+4)2

=

a2+3 (a2+4)2

=

1 (a2+3)+ 1 (a2+3) +2

令t=a²+3，则t≥3，而函数f(t)=t+

1

t

在t≥3时递增，
∴S△MRS≤

1 3+ 1 3 +2

=

3

4

．
∴S△MRS|max=

3

4

，此时t=3，a=0，