已知f(x)=a2x-12x3,x∈(-2,2)为正常数.(1)可以证明:定理“若a、b∈R*,则a+b2≥ab(当且仅当a=b时取等号)”推广到三个正数时结论
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已知f(x)=a2x-12x3,x∈(-2,2)为正常数.(1)可以证明:定理“若a、b∈R*,则a+b2≥ab(当且仅当a=b时取等号)”推广到三个正数时结论
题型:松江区模拟
难度:
来源:
已知f(x)=a
2
x-
1
2
x
3
,x∈(-2,2)为正常数.
(1)可以证明:定理“若a、b∈R
*
,则
a+b
2
≥
ab
(当且仅当a=b时取等号)”推广到三个正数时结论是正确的,试写出推广后的结论(无需证明);
(2)若f(x)>0在(0,2)上恒成立,且函数f(x)的最大值大于1,求实数a的取值范围,并由此猜测y=f(x)的单调性(无需证明);
(3)对满足(2)的条件的一个常数a,设x=x
1
时,f(x)取得最大值.试构造一个定义在D={x|x>-2,且x≠4k-2,k∈N}上的函数g(x),使当x∈(-2,2)时,g(x)=f(x),当x∈D时,g(x)取得最大值的自变量的值构成以x
1
为首项的等差数列.
答案
(1)若a、b、c∈R
+
,则
a+b+c
3
≥
3
abc
(当且仅当a=b=c时取等号).
(2)f(x)=ax
2
-
1
2
x
3
=x(
a
2
-
1
2
x
2
)>0
在(0,2)上恒成立,
即a
2
>
1
2
x
2
在(0,2)上恒成立,
∵
1
2
x
2
∈(0,2),∴a
2
≥2,即a≥
2
,
又∵
[f(x)]
2
=
x
2
(
a
2
-
1
2
x
2
)(
a
2
-
1
2
x
2
)≤
[
x
2
+(
a
2
-
1
2
x
2
)+(
a
2
-
1
2
x
2
)
3
]
3
=
(
2
a
2
3
)
3
∴x
2
=a
2
-
1
2
x
2
,即x=
6
3
a时,
f
max
=
2
6
9
a
3
>1⇒
a
3
>
2
6
9
=
3
6
4
=
(
6
2
)
3
⇒a>
6
2
,
又∵x=
6
3
a∈(0,2),∴
a∈(0,
6
)
.综上,得
a∈[
2
,
6
)
.
易知,f(x)是奇函数,∵x=
6
3
a时,函数有最大值,∴x=-
6
3
a时,函数有最小值.
故猜测:
x∈(-2,-
6
3
a]∪ [
6
3
a,2)
时,f(x)单调递减;
x∈[-
6
3
a,
6
3
a]
时,f(x)单调递增.
(3)依题意,只需构造以4为周期的周期函数即可.
如对x∈(4k-2,4k+2),k∈N,x-4k∈(-2,2),此时g(x)=g(x-4k)=f(x-4k),
即g(x)=a
2
(x-4k)-
1
2
(x-
4k)
3
,x∈(4k-2,4k+2).k∈N.
举一反三
△和ϖ各代表一个自然数,且满足
1
△
+
9
□
=1,则当这两个自然数的和取最小值时,△=______,□=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设P(x,y)为函数y=x
2
-1
(x>
3
)
图象上一动点,记
m=
3x+y-5
x-1
+
x+3y-7
y-2
,则当m最小时,点 P的坐标为______.
题型:不详
难度:
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已知x>0,y>0,且x+y=4,那么xy的最大值是______.
题型:北京模拟
难度:
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已知x>0,y>0,x+2y=16,则xy的最大值为______.
题型:不详
难度:
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设a,b,c为正实数,求证:
1
a
3
+
1
b
3
+
1
c
3
+3abc≥6
,并指出等号成立的条件.
题型:不详
难度:
|
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