已知a，b都是正数，求证：2aba+b≤a+b2≤a2+b22，当且仅当a=b时等号成立．

题型：不详难度：来源：

已知a，b都是正数，求证：

2ab

a+b

≤

a+b

2

≤

a2+b2 2

，当且仅当a=b时等号成立．

答案

证明：因为a＞0，b＞0

2ab

a+b

-

a+b

2

=

4ab-a2-2ab-b2

2(a+b)

=-

(a-b)2

2(a+b)

≤0⇒

2ab

a+b

≤

a+b

2

，
当且仅当a=b时取等号．（5分）(

a+b

2

)2-(

a2+b2 2

)2=

a2+2ab+b2

4

-

a2+b2

2

=

-a2+2ab-b2

4

=-

(a-b)2

4

⇒(

a+b

2

)2-(

a2+b2 2

)2≤0⇒(

a+b

2

)2≤(

a2+b2 2

)2⇒

a+b

2

≤

a2+b2 2

，
当且仅当a=b时取等号．（11分）
综上知：

2ab

a+b

≤

a+b

2

≤

a2+b2 2

，当且仅当a=b时等号成立．（12分）