过P(2,1)作直线L与x轴正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,设∠BAO=2α(O为坐标原点),当△AOB的周长最小时,cotα=______.
题型:不详难度:来源:
过P(2,1)作直线L与x轴正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,设∠BAO=2α(O为坐标原点),当△AOB的周长最小时,cotα=______. |
答案
由题意,△AOB的周长可表示为OA+OB+PA+PB=2+cot2α+1+2tan2α++ 令tan2α=t,则周长为y=3++2t++ 2 y/=-+2-+ 令y′=0,可得t= ∵函数在区间(0,)上单调减,在(,+∞)上单调增, ∴函数在t=时,取得极小值,且为最小值. ∴当tan2α=时,周长最小 ∴= ∴tanα= ∴cotα=3 故答案为:3 |
举一反三
函数f(x)=3+x+(x>1)的最小值为______. |
已知a,b,c∈R+,ab=1,a2+b2+c2=9,则a+b+c的最大值为______. |
已知x>0,y>0,且9x+y=xy,则x+y的最小值为______. |
设x,y∈R且x+y=5,则3x+3y的最小值是______. |
已知a>b>c,且++≥0恒成立,则实数k的最大值为( ) |
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