椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）且满足a≤3b，若离心率为e，则e2+1e2的最小值为______．

题型：不详难度：来源：

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）且满足a≤

3

b，若离心率为e，则e²+

1

e2

的最小值为______．

答案

∵a≤

3

b，
e²+

1

e2

=

c2

a2

+

a2

c2

=

a2-b2

a2

+

a2

a2-b2

=2+

b2

a2

•

b2

a2-b2

∵a≤

3

b，，∴a²≤3b²，
∴

b2

a2

≥

1

3

，且

b2

a2-b2

≥

b2

3b2-b2

=

1

2

∴

b2

a2

•

b2

a2-b2

≥

1

3

×

1

2

=

1

6

∴e²+

1

e2

≥

13

6

故答案为：

13

6