已知函数f(x)=x2+ax+b-3,f(x)的图象恒过点(2,0),则a2+b2的最小值为______.

已知函数f(x)=x2+ax+b-3,f(x)的图象恒过点(2,0),则a2+b2的最小值为______.

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x2+ax+b-3,f(x)的图象恒过点(2,0),则a2+b2的最小值为______.
答案
把(2,0)代入二次函数解析式得:
4+2a+b-3=0,即2a+b=-1,解得:b=-1-2a,
则a2+b2=a2+(-1-2a)2=5a2+4a+1=5(a+
2
5
2+
1
5

所以当a=-
2
5
,b=-
1
5
时,a2+b2的最小值为
1
5

故答案为:
1
5
举一反三
函数f(x)=1+logax(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-2=0上,其中mn>0,则
1
m
+
1
n
的最小值为______.
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若实数a,b满足a+2b=2,则3a+9b的最小值为______.
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若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是______.
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国际上钻石的重量计量单位为克拉,已知某种钻石的价值v(美元)与其重量w(克拉)的平方成正比,且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元.
(I)写出v关于w的函数关系式;
(II)若把一颗钻石切割成重量比为1:x(x≥1)的两颗钻石,价值损失的百分率为y,写出y关于x的函数关系式;
(III)试证明:把一颗钻石切割成两颗钻石时,按重量比为1:1切割,价值损失的百分率最大.
(注:价值损失的百分率=
原有价值-现有价值
原有价值
×100%,在切割过程中的重量损耗忽略不计)
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设x>1,则函数y=x+
4
x-1
的最小值______,此时相应x的值为______.
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