已知a,b,c是正实数,且abc+a+c=b,设p=2a2+1-2b2+1+3c2+1,则p的最大值为______.
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已知a,b,c是正实数,且abc+a+c=b,设p=2a2+1-2b2+1+3c2+1,则p的最大值为______.
题型:不详
难度:
来源:
已知a,b,c是正实数,且abc+a+c=b,设
p=
2
a
2
+1
-
2
b
2
+1
+
3
c
2
+1
,则p的最大值为______.
答案
设a=tanα,b=tanβ,c=tanγ,α,β,γ∈(0,
π
2
),
则p=2cos
2
α-2cos
2
β+3cos
2
γ=cos2α-cos2β+3cos
2
γ=2sin(α+β)sin(β-α)+3cos
2
γ.
由abc+a+c=b得b=
a+c
1-ac
即tanβ=
tanα+tanγ
1-tanαtanγ
=tan(α+γ),又α,β,γ∈(0,
π
2
),
所以β=α+γ,β-α=γ,p=2sin(α+β)sin(β-α)+3cos
2
γ=2sin(α+β)sinγ+3cos
2
γ≤2sinγ+3cos
2
γ=
10
3
-3(sinγ-
1
3
)
2
≤
10
3
.
当α+β=
π
2
,sinγ=
1
3
时取等号.
所以
p=
2
a
2
+1
-
2
b
2
+1
+
3
c
2
+1
的最大值为
10
3
故答案为:
10
3
举一反三
已知正数a,b满足a+b=ab,则a+b的最小值为______.
题型:不详
难度:
|
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请您帮他决策一下,哪种方案更合算.
题型:巢湖模拟
难度:
|
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在函数
y=
1
x
的图象上,求使
1
x
+
1
y
取最小值的点的坐标.
题型:不详
难度:
|
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若m,n是不等于1的正整数,且log
3
m•log
3
n≥4,则m+n的最小值是( )
A.4
B.9
C.18
D.
4
3
题型:不详
难度:
|
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若x+2y=1,则2
x
+4
y
的最小值是______;
题型:不详
难度:
|
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